环

1. 概述

于 环论 中, 环 是同时带有加法和乘法的 代数结构. 加法构成 交换群, 乘法构成 幺半群, 并由分配律联系两种运算.

2. 定义

定义 1 (环)

设 为 集合, 与 为 上的 二元运算. 称资料 为 环, 当：

1. 为 交换群;
2. 为 幺半群;
3. 乘法对加法满足 左右分配律, 即对任意 ：

记号 2 (环的零元与幺元)

对 环 , 加法幺元记为 , 乘法幺元记为 .

注记 3 (环的约定)

本目录中的 环 默认含乘法幺元, 但乘法不必交换; 环同态默认保持乘法幺元.

3. 例子

例子 4 (初步例子)

• 整数环 是 环;
• 对任意正整数 , 整数模 环 是有限环;
• 任意 域 都是环;
• 任意环 上的 多项式环 是环.

4. 基本性质

命题 5 (环的基本性质)

设 为 环, , 则：

1. ;
2. ;
3. ;
4. 若 非 零环, 则 .

证明 6 (环的基本性质)

在 环 中：

1. 由分配律, ; 在加法群中消去 得 . 同理 .
2. 因为 , 所以 是 的加法逆元, 即 . 另一等式同理.
3. 由 环的基本性质 的 (2), .
4. 若 , 则对任意 , 由 (1) 得 , 因而 是零环.
   

5. 相关概念

• 半环
• 无幺环
• 子环
• 交换环
• 理想
• 环同态

6. 术语翻译

中文	英文
环	ring
加法零元	additive identity / zero
乘法幺元	multiplicative identity / unity