Fermat 曲线

1. 概述

于 代数几何 中, Fermat 曲线 是由齐次方程 定义的平面射影曲线. 它把 Fermat 方程 的整数解问题转化为非平凡有理点问题.

2. 定义

定义 1 (Fermat 曲线)

设 为 域, . 称 射影代数集：

为指数 的 Fermat 曲线.

3. 例子

例子 2 (指数 )

Fermat 曲线 是具有有理点 的 圆锥曲线, 因而可有理参数化.

4. 相关性质

命题 3 (Fermat 方程与非平凡有理点)

指数 的 Fermat 方程 存在非零整数解, 当且仅当 Fermat 曲线 存在满足 的 -有理点.

证明 4 (Fermat 方程与非平凡有理点)

充分性 ( )

非零整数解 直接给出非平凡射影有理点 .

必要性 ( )

对非平凡有理点清除齐次坐标的公分母, 得到满足同一齐次方程的非零整数三元组.

定理 5 (Fermat 大定理的曲线表述)

对 , Fermat 曲线 不含满足 的点.

5. 相关概念

• Fermat 方程
• 有理点
• 射影空间
• 曲线的亏格

6. 术语翻译

中文	英文
Fermat 曲线	Fermat curve