有理点

1. 概述

于 代数几何 中, 有理点 是坐标属于指定底域的代数簇上的点. 它把几何对象与 Diophantine 方程的域上解联系起来.

2. 定义

定义 1 (-有理点)

设 为定义在 域 上的 仿射代数集 或 射影代数集. 若点 可由 中的坐标表示, 则称 为 的 -有理点.

记号 2 (-有理点)

的全部 -有理点 组成的集合记为 .

3. 例子

例子 3 (射影圆锥曲线上的有理点)

取 . 点 是曲线 的 -有理点, 因为其坐标属于 且满足方程.

4. 相关性质

命题 4 (射影有理点与本原整数坐标)

对 , 每个 中的 -有理点 都可由一个本原整数向量 表示, 且该向量在整体乘以 的意义下唯一.

证明 5 (射影有理点与本原整数坐标)

存在性

清除有理坐标的公分母得到非零整数向量, 再除以全部坐标的 最大公因数 得到本原向量.

唯一性

设两个本原整数向量 与 表示同一点, 且 . 由 裴蜀恒等式, 存在 使 , 因而 . 交换 与 可得 , 故 .

5. 相关概念

• 射影空间
• 整数点
• Diophantine 方程
• 点函子

6. 术语翻译

中文	英文
有理点	rational point