Fermat 方程

1. 概述

于 数论 中, Fermat 方程 把 Pythagoras 三元组 的平方关系推广到更高指数. 指数 的情形具有完整参数化, 而指数大于 的无正整数解结论是连接初等数论、代数数论与 算术几何 的经典入口.

2. 定义

定义 1 (Fermat 方程)

设 且 . 称未知量 的方程：

为指数 的 Fermat 方程.

3. 例子

例子 2 (指数 )

指数 的 Fermat 方程 就是 ; 例如 是一组解, 并给出 Pythagoras 三元组.

4. 相关性质

命题 3 (Fermat 方程的指数约化)

若指数 , 其中 且 , 并且指数 的 Fermat 方程 有正整数解 , 则指数 的 Fermat 方程有正整数解 .

证明 4 (Fermat 方程的指数约化)

由指数 的 Fermat 方程 直接得到 , 故结论成立.

定理 5 (Fermat 大定理)

对每个 且 , 指数 的 Fermat 方程 没有正整数解.

注记 6 (与算术几何的联系)

指数 的 Fermat 方程 可转化为 Fermat 曲线 的非平凡 有理点 问题. Fermat 大定理 的现代证明通过 椭圆曲线 与模形式建立这一方程和 算术几何 的深层联系.

5. 相关概念

• Pythagoras 三元组
• Diophantine 方程
• 同余障碍
• 算术几何
• Fermat 曲线
• 有理点

6. 术语翻译

中文	英文
Fermat 方程	Fermat equation
Fermat 大定理	Fermat’s Last Theorem

初等数论