圆锥曲线

1. 概述

于 代数几何 中, 圆锥曲线 是由二次齐次方程定义的平面射影曲线. 光滑圆锥曲线一旦具有底域上的有理点, 就可以由射影直线有理参数化.

2. 定义

定义 1 (圆锥曲线)

设 为 域, 为非零二次 齐次多项式. 称 射影代数集 为一条 圆锥曲线.

3. 例子

例子 2 (Pythagoras 圆锥曲线)

方程 定义一条 圆锥曲线, 且具有 有理点 .

4. 相关性质

定理 3 (有有理点的光滑圆锥曲线)

设 为域 上的光滑 圆锥曲线. 若 , 则 与 射影直线 在 上同构.

证明 4 (有有理点的光滑圆锥曲线)

取 . 经过 的直线束由 参数化. 每条不与 在 相切的直线除 外还有唯一交点; 该对应延拓到切线方向并给出 与 之间互逆的正则映射.

5. 相关概念

• 圆锥曲线的有理参数化
• 射影空间
• 有理点
• Pythagoras 三元组

6. 术语翻译

中文	英文
圆锥曲线	conic