链同伦

1. 概述

于 同调代数 中, 链同伦 是 链映射 之间的一种代数变形. 其边界公式使两映射在闭链上的差成为边界, 与 同伦 的同调不变性相呼应.

2. 定义

定义 1 (链同伦)

设 为 环, 为左 -模 链复形 之间的 链映射. 从 到 的 链同伦 是一族 模同态 , 满足：

记号 2 (链同伦)

存在 链同伦 时, 记为 . 边界公式简写为 .

3. 例子

例子 3 (两项恒等复形)

设 为 环 上的 -模, 令 链复形 仅在次数 取 , 且 . 取 , 其余 , 则 . 所以恒等 链映射 与零映射 链同伦.

4. 相关性质

命题 4 (链同伦的基本性质)

固定同一 环 上的 链复形 , 链映射 之间的 链同伦 满足：

1. ;
2. 蕴含 ;
3. 且 蕴含 .

证明 5 (链同伦的基本性质)

使用 链同伦 的公式：

1. 取 .
2. 若 , 则 .
3. 若 且 , 则 .
   

命题 6 (链同伦映射在闭链上的差)

设 为同一 环 上 链同伦 的 链映射. 若 , 则 , 即二者在边界算子的 核 上的差落入边界算子的 像.

证明 7 (链同伦映射在闭链上的差)

由 链同伦 的边界公式与 , 有 , 属于 像 .

5. 相关概念

• 链复形
• 链映射
• 同伦

6. 术语翻译

中文	英文
链同伦	chain homotopy
链同伦的映射	chain-homotopic maps

同调代数