模同态

1. 概述

于 模论 中, 模同态 是同时保持加法与标量乘法的 映射. 域上的模同态正是 线性映射.

2. 定义

定义 1 (模同态)

设 为左 -模, 为 映射：

若对任意 与 ：

则称 为 -模同态.

3. 例子

例子 2 (标量乘法同态)

设 为 交换环, . 映射：

是 模同态.

4. 相关性质

命题 3 (模同态保持线性组合)

设 为 模同态. 对任意 , 与 ：

证明 4 (模同态保持线性组合)

反复使用 模同态 对加法与标量乘法的保持性即可.

定理 5 (模同态第一同构定理)

设 为 模同态. 则利用 核 与 像 可构造唯一的 模同构：

证明 6 (模同态第一同构定理)

存在性

由 核 的定义, 当且仅当 , 故 良定义. 它显然为满的 模同态, 且核只有零陪集, 因而为 模同构.

唯一性

唯一性由商映射的满射性得到.

5. 相关概念

• 核
• 像
• 模同构
• 商模

6. 术语翻译

中文	英文
模同态	module homomorphism