链映射

1. 概述

于 同调代数 中, 链映射 是与边界算子交换的逐次 模同态, 是 链复形 之间保持边界算子的结构映射.

2. 定义

定义 1 (链映射)

设 为 环, 与 为左 -模 链复形. 从 到 的 链映射 是一族 模同态 , 满足：

记号 2 (链映射)

链映射 记为 , 或在不会混淆时简写为 .

3. 例子

例子 3 (零边界的情形)

设 为同一 环 上边界均为零的 链复形. 任意一族 模同态 都是 链映射, 因为交换条件的两侧均为零.

4. 相关性质

命题 4 (链映射的恒等与复合)

固定 环 , 对左 -模 链复形 有：

1. 逐次恒等映射是 链映射;
2. 若 与 是链映射, 则逐次复合 是链映射.

证明 5 (链映射的恒等与复合)

逐点验证 链映射 的交换条件：

1. .
2. 由 的交换条件, .
   

命题 6 (链映射保持核与像)

设 为同一 环 上的 链映射. 则：

1. , 即保持边界算子的 核;
2. , 即保持边界算子的 像.

证明 7 (链映射保持核与像)

由 链映射 的交换条件逐点计算：

1. 若 , 则 , 故落在 核 中.
2. 若 , 则 , 故落在 像 中.
   

5. 相关概念

• 链复形
• 链同伦
• 范畴

6. 术语翻译

中文	英文
链映射	chain map
复形态射	morphism of complexes

同调代数