数学笔记

范畴

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1. 概述

范畴 是 范畴论 中的基本研究对象, 它是由以下两部分组成的结构：

  • 一族 对象, 它们可能是一些 集合, 代数结构 乃至一些拓扑或几何空间;
  • 一族 态射, 它们是上述一族对象之间的 映射, 例如两个集合 之间的映射 .

而这些态射之间皆可以首尾相连, 同样考虑集合的情况, 对任意集合间的映射 , 皆可与上述的 复合态射, 从而得到新的映射 .

此外, 从以下定义可以看出范畴中的态射复合满足 结合律 与 单位律, 这与 幺半群 的运算规律相同. 每个幺半群都可视为只有一个对象的范畴, 而一般范畴则可看作允许多个对象、并限制态射何时可复合的推广.

2. 定义

定义 1 (范畴)

称 为一个 范畴, 当其是由以下资料所组成的代数结构：

  • 一族 对象 的 类 ；

  • 一族 态射 的 类 ；

  • 存在一对映射 , 分别给出每个态射的来源与目标, 其中：

    • 称对象 为 的 来源;
    • 称对象 为 的 目标.

    对任意两个 中的对象 , 要求它们之间的态射构成 -集：

  • 对任意 , 指定一个 恒同态射 ；

  • 对于任意 , 称 中的映射：

为 与 的 复合态射 / 合成态射, 而以图表观察则有：
\xymatrix{
X \ar@{->}[rd]_{g \circ f} \ar@{->}[r]^{f} & Y \ar@{->}[d]^{g} \
& Z
}

且 下的所有态射都满足以下条件：

记号 2 (范畴中的基本记号)

对 范畴 ：

  1. 从 到 的 -集 通常简记为 、 或 ;
  2. 恒同态射 亦记为 ;
  3. 无歧义时, 复合态射 简记为 .

注记 3 (以交换图表观察)

我们可通过 交换图表 的方式观察 范畴 的 结合律 与 单位律 条件：
% https://darknmt.github.io/res/xypic-editor/#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
\xymatrix{
 X \ar@{->}[r]^{1_X} \ar@{->}[rd]{f \circ 1_X} & X \ar@{->}[d]|-{f} \ar@{->}[rd]^{1_Y \circ f} & & & W \ar@{->}[rd]{f} \ar@{->}[rr]^{g \circ f} & & Y \ar@{->}[rd]^{h} & \
& Y \ar@{->}[r]{1_Y} & Y & & & X \ar@{->}[rr]{h \circ g} \ar@{->}[ru]|-{g} & & Z
}

范畴的大小

范畴 称为 小范畴, 当 与 都是 集合；称为 局部小范畴, 当每个 都是集合. 一个局部小范畴的对象类仍可能是真类, 因此未必是小范畴.

重要

可选定 Grothendieck 宇宙 来相对化大小概念：对象集与态射集都属于 的范畴称为 -小范畴；每个 Hom-集都属于 的范畴称为 -局部小范畴.

3. 例子

例子 4

以下是一些数学中较为常见的一般例子：

以 作为对象以 作为态射该 范畴 的记号
集合映射
有限集映射
群群同态
环环同态
交换环环同态
域 上的 线性空间-线性映射 或
(含幺) 环 上的 左 -模-线性映射
(含幺) 环 上的 右 -模-线性映射
交换环 上的 -代数-代数同态
拓扑空间连续映射

4. 相关性质

5. 相关概念

5.1. 基本概念

5.2. 范畴的构造方式

5.3. 泛构造

5.4. 推广

6. 术语翻译

中文英文
范畴category
对象object(s)
态射morphism(s)
来源source
目标target
态射集 / Hom-集hom-set
自态射endomorphism
单位态射 / 恒等态射identity morphism(s)
复合态射 / 合成态射composition of morphisms
交换图 / 交换图表commutative diagram

范畴论

关系图谱

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