幂级数

1. 概述

于 数学分析 中, 幂级数 是以 为基本项的函数项级数. 其收敛集合由一个收敛半径控制, 并且在收敛区间内部可以逐项积分与求导.

2. 定义

定义 1 (幂级数)

设 为实或复 序列, 为定点. 称函数项级数：

为以 为中心的 幂级数.

3. 例子

例子 2 (几何幂级数)

当 时, 幂级数 收敛于 ；当 时发散.

4. 相关性质

定理 3 (收敛半径)

对每个 幂级数, 存在唯一的 , 使它在 时绝对收敛, 在 时发散；并且：

证明 4 (收敛半径)

对 幂级数 的正项级数 使用 根值判别法. 当根值小于 时绝对收敛, 大于 时通项不趋于 .

定理 5 (幂级数的逐项运算)

在 内, 幂级数 的和函数连续且可逐项积分、逐项求导；所得两个幂级数的收敛半径仍为 .

证明 6 (幂级数的逐项运算)

对 幂级数, 在任意闭子区间 上, 由 收敛可得原级数一致收敛. 于是应用 一致极限保持连续性 与 一致极限与积分交换；导数级数可在更小的半径上与一个收敛几何级数比较, 再由微积分基本定理识别其和为原和函数的导数.

5. 相关概念

• 无穷级数；
• 一致收敛；
• Taylor 公式.

6. 术语翻译

中文	英文
幂级数	power series

数学分析