曲线积分

1. 概述

于 数学分析 中, 曲线积分 沿 参数曲线 累积标量密度或 向量场 的切向分量. 第一类曲线积分依赖弧长而不依赖曲线方向, 第二类曲线积分则记录定向路径上的功或环流.

2. 定义

定义 1 (第一类曲线积分)

设 为开集, 为连续 映射. 假设存在有限分割 , 使每个限制 均为 映射, 且 对 成立. 对 连续函数 , 称：

为 沿 的 第一类曲线积分. 由一元 Riemann 积分 的区间可加性, 该值不依赖所选的有限分割.

定义 2 (第二类曲线积分)

设 为开集, 为连续 映射. 假设存在有限分割 , 使每个限制 均为 映射, 且 对 成立. 对连续 向量场 , 称：

为 沿定向曲线 的 第二类曲线积分. 由一元 Riemann 积分 的区间可加性, 该值不依赖所选的有限分割.

3. 例子

例子 3 (单位圆周的长度)

取 参数曲线 , . 常值函数 的 第一类曲线积分 为：

例子 4 (旋转场的环流)

对 向量场 与逆时针单位圆周 , 第二类曲线积分 为：

4. 相关性质

命题 5 (曲线积分在重新参数化下的变化)

设 为开集, 为连续 映射, 并假设存在有限分割 , 使每个限制 均为 映射, 且 对 成立. 下述两类曲线积分均按该分割的各段积分之和计算. 设 为 微分同胚, 为 连续函数, 且 为连续 向量场. 则：

1. 第一类曲线积分 满足 ;
2. 若 于 上成立, 则 第二类曲线积分 满足 ; 若 于 上成立, 则 .

证明 6 (曲线积分在重新参数化下的变化)

1. 将 的分割点经 拉回并按递增次序排列, 即可得到 的有限分割. 在每一分段上有 , 故 第一类曲线积分 的被积函数额外产生 . 逐段对一元 Riemann 积分 作变量替换并求和即得结论.
2. 第二类曲线积分 的被积函数额外产生 而非其绝对值. 当 时有 与 , 逐段变量替换保持积分值; 当 时有 与 , 积分上下限反转, 因而积分变号.
   

5. 相关概念

• 参数曲线;
• 向量场;
• 梯度;
• Riemann 积分.

6. 术语翻译

中文	英文
曲线积分	line integral
第一类曲线积分	scalar line integral
第二类曲线积分	vector line integral
环流	circulation

数学分析