旋度

1. 概述

于 数学分析 中, 旋度 衡量三维 向量场 的局部旋转趋势. 它把向量场的一阶偏导数组合成新的向量场, 并与环流和 曲线积分 密切相关.

2. 定义

定义 1 (旋度)

设 为开集, 为 向量场. 称向量场：

为 的 旋度.

记号 2 (旋度)

旋度 也记为 .

3. 例子

例子 3 (平面旋转场)

对 上的 向量场 , 其 旋度 为：

4. 相关性质

命题 4 (梯度与旋度的复合恒等式)

设 为开集. 则以下 旋度 恒等式成立：

1. 若 的二阶 偏导数 连续, 则 ;
2. 若 向量场 的各分量具有连续二阶偏导数, 则 .

证明 5 (梯度与旋度的复合恒等式)

1. 旋度 的每个分量都是 的两个混合二阶偏导数之差. 连续性保证混合偏导数交换, 故各分量均为 .
2. 展开 散度 后, 每个混合二阶偏导数都与交换求导次序所得的同一项异号出现, 因而总和为 .
   

5. 相关概念

• 向量场;
• 梯度;
• 散度;
• 曲线积分.

6. 术语翻译

中文	英文
旋度	curl
无旋向量场	irrotational vector field
环流	circulation

数学分析