向量场

1. 概述

于 数学分析 中, 向量场 为 Euclid 空间 中每个点赋予一个向量. 它统一描述速度、力与流动, 并由 散度、旋度 和 曲线积分 刻画局部与整体行为.

2. 定义

定义 1 (向量场)

设 为开集. 称 映射：

为 上取值于 的 向量场.

记号 2 (向量场)

向量场 的坐标分量记为 , 其中 .

3. 例子

例子 3 (径向向量场)

在 上, 映射 是 向量场. 它在每个非零点沿从原点指向该点的方向取值.

4. 相关性质

命题 4 (向量场的分量连续性判别)

向量场 的每个分量 都是 连续函数, 当且仅当 连续.

证明 5 (向量场的分量连续性判别)

充分性 ( )

若每个 连续, 则 , 故 向量场 连续.

必要性 ( )

若 向量场 连续, 则每个坐标投影与 的复合 连续.

命题 6 (向量场的 Jacobian 表示)

若 向量场 为 , 则其 Jacobian 矩阵 的第 行是 梯度 的转置.

证明 7 (向量场的 Jacobian 表示)

由 Jacobian 矩阵 的定义, 向量场 的第 行依次为 , 这正是 .

5. 相关概念

• 参数曲线;
• 曲线积分;
• 散度;
• 旋度.

6. 术语翻译

中文	英文
向量场	vector field
分量函数	component function
径向向量场	radial vector field

数学分析