多元连续性

1. 概述

于 数学分析 中, 多元连续性 要求 向量值函数 在一点附近的值随输入的小变化而小变化. 它把 连续函数 的局部性质推广到 Euclid 空间.

2. 定义

定义 1 (多元连续性)

设 , 为 向量值函数, . 称 在 处 连续, 当：

若 在 的每一点连续, 则称 为 上的 多元连续函数.

3. 例子

例子 2 (多项式映射)

每个由实系数多项式组成的映射 都是 多元连续函数, 因为坐标投影、常值函数以及有限次和与积保持连续.

4. 相关性质

命题 3 (连续映射的复合)

设 在 处 连续, 在 处连续, 且 . 则 在 处连续.

证明 4 (连续映射的复合)

给定 , 由 在 处连续取 , 再由 在 处连续取 . 当 时有 , 从而 .

定理 5 (序列判别)

向量值函数 在 处 连续 当且仅当对每个 中满足 的 序列, 都有 .

5. 相关概念

• 多元函数的极限;
• 向量值函数;
• Euclid 空间;
• 连续函数.

6. 术语翻译

中文	英文
多元连续性	multivariable continuity
连续映射的复合	composition of continuous maps

数学分析