1. 概述
于 数学分析 中, 多元链式法则 描述复合 映射 的 全微分 如何由各层微分复合得到. 它是坐标变换和光滑映射的基本计算规则.
2. 定义
定义 1 (多元链式法则)
设
, 为开集, , 为 映射, . 若 在 处可微且 在 处可微, 则 多元链式法则 断言：
记号 2 (多元链式法则)
在标准基下, 多元链式法则 写为
.
3. 例子
例子 3 (极坐标复合)
令
, . 则 , 其导数可由两个 Jacobian 矩阵相乘得到.
4. 相关性质
命题 4 (多重复合的链式法则)
若
在相应点可微且复合有定义, 则复合映射的全微分按从右到左的顺序相乘.
证明 5 (多重复合的链式法则)
对
即为 多元链式法则. 对一般 用归纳法, 将前 个映射的复合视为一个映射即可.
5. 相关概念
- 全微分;
- Jacobian 矩阵;
- 偏导数;
- 逆函数定理.
6. 术语翻译
| 中文 | 英文 |
|---|---|
| 多元链式法则 | multivariable chain rule |
| 复合映射 | composite map |