多元 Taylor 公式

1. 概述

于 数学分析 中, 多元 Taylor 公式 用有限阶偏导数给出函数在一点附近的多项式近似. 它是局部误差估计与极值判别的重要工具.

2. 定义

定义 1 (多元 Taylor 公式)

设 为开集, 具有 阶连续 偏导数, , 且 . 对任意多重指标 , 在 处的 多元 Taylor 公式 为：

记号 2 (多元 Taylor 公式)

多重指标写作 , 并记 , , , . 上式的有限和记为 , 称为余项.

3. 例子

例子 3 (二元指数函数)

对 在 处的一阶 Taylor 公式为 .

4. 相关性质

定理 4 (Taylor 余项估计)

若 在 的某邻域内具有有界的 阶偏导数, 则存在 使充分小的 满足：

证明 5 (Taylor 余项估计)

固定 , 对一元函数 应用 Taylor 公式 于 , 再令 . 各阶导数由 多元链式法则 展开为有限个 偏导数 与 的乘积, 有界性给出所需常数 .

5. 相关概念

• 偏导数;
• 全微分;
• 多元函数的极值;
• 高阶导数与 Hessian.

6. 术语翻译

中文	英文
多元 Taylor 公式	multivariable Taylor formula
多重指标	multi-index
余项	remainder

数学分析