1. 概述
于 数学分析 中, 多重 Riemann 积分 把一元 Riemann 积分 的分割与求和方法推广到高维紧矩形. 它刻画标量函数在有限维区域上的总体累积量, 并为 Fubini 定理 与 多元变量替换公式 提供基础.
2. 定义
定义 1 (多重 Riemann 积分)
设
为紧矩形, 其中 , 且 为有界 映射. 将 分成有限个内部互不相交的子矩形 , 并在每个 中选取标签点 . 若存在 , 使对任意标签选取均有： 则称
在 上 多重 Riemann 可积, 并称 为 在 上的多重 Riemann 积分.
记号 2 (多重 Riemann 积分)
多重 Riemann 积分
记为：
3. 例子
例子 3 (二元单项式)
函数
, 的 多重 Riemann 积分 存在, 且由乘积型分割的 Riemann 和可得：
4. 相关性质
定理 4 (紧矩形上的连续函数可积)
设
为紧矩形, 为 连续函数. 则 在 上的 多重 Riemann 积分 存在.
证明 5 (紧矩形上的连续函数可积)
紧矩形
上的连续函数一致连续. 给定 , 当分割的网格充分小时, 每个子矩形上 的振幅都小于 . 因而同一分割上的任意两个带标签 Riemann 和之差小于 . 细化分割后这些和构成 Cauchy 网, 由 实数 得到与标签无关的极限, 故 多重 Riemann 积分 存在.
5. 相关概念
6. 术语翻译
| 中文 | 英文 |
|---|---|
| 多重 Riemann 积分 | multiple Riemann integral |
| 带标签分割 | tagged partition |
| Riemann 和 | Riemann sum |