Riemann 积分

1. 概述

于 数学分析 中, Riemann 积分 通过越来越细的区间分割与矩形面积和来刻画函数在闭区间上的总累积量. 它与 导数 由微积分基本定理相互联系.

2. 定义

定义 1 (Riemann 积分)

设 , 且 为有界 映射. 对分割 , 在每个 中取 . 若存在 , 使对任意标签选取均有：

则称 在 上 Riemann 可积.

记号 2 (Riemann 积分)

对分割 , 其网格记为 . 若函数 的 Riemann 积分 为 , 则记为 .

3. 例子

例子 3 (常数)

设 且 , 并定义函数 为 . 每个 Riemann 和都等于 , 故 具有 Riemann 积分, 且：

例子 4 (幂函数)

设 且 , , 并定义函数 为 . 则 具有 Riemann 积分, 且：

例子 5 (指数函数)

设 且 , 并定义函数 为 . 则 具有 Riemann 积分, 且：

例子 6 (对数函数)

设 且 , 并定义函数 为 . 则 具有 Riemann 积分, 且：

例子 7 (三角函数)

设 且 , 并定义函数 为 与 . 则 均具有 Riemann 积分, 且：

4. 相关性质

定理 8 (连续函数可积)

设 , 且 . 若 在 上 连续, 则 具有 Riemann 积分.

证明 9 (连续函数可积)

由 Heine—Cantor 定理, 给定 , 存在 , 使长度小于 的每个子区间上函数的振幅都小于 . 对任意两个网格都小于 的带标签分割 与 , 令 为共同加细, 并在 上任取标签 . 记相应的 Riemann 和为 , 与 . 每个加细后的小区间都包含于 的某个子区间, 故：

对 同理. 因而 . 所有充分细的带标签 Riemann 和由此满足一致的 Cauchy 条件, 再由 实数 的完备性得到共同极限, 故 Riemann 积分 存在.

命题 10 (Riemann 积分的区间性质)

设 , 且 具有 Riemann 积分. 对任意函数 以及 , 约定 . 则下列结论成立：

1. 对任意 , 有 ;
2. 对任意 , 若 且对每个 均有 , 则 ;
3. 若 具有 Riemann 积分, 则对任意 与 , 函数 在 上具有 Riemann 积分, 且 . 此外, 对任意 , 常数函数 的积分为 .

证明 11 (Riemann 积分的区间性质)

先说明 在各闭子区间上的积分存在. 将 的任意两个充分细的带标签分割分别与区间外同一个充分细的带标签分割拼接, 所得 上两个 Riemann 和之差恰为原来两个子区间 Riemann 和之差. 因此 上 Riemann 和的一致 Cauchy 条件传递到 , 再由 实数 的完备性得到子区间上的共同极限.

1. 当相邻端点相等时, 等式由约定成立. 当 时, 分别取 与 的带标签分割 与 . 将二者在 处拼接所得带标签分割满足：

令 , 三个 Riemann 和分别趋于相应积分, 即得区间可加性.
2. 若 , 结论由约定成立. 若 , 对 的任意带标签分割 及标签 , 有：

令 , 即得所述积分估计.
3. 对 应用开头的同一论证, 可知 在各闭子区间上的积分存在. 若 , 两个等式均由零长度积分约定成立. 若 , 对 的任意带标签分割 , Riemann 和逐项满足：

令 , 右端两项分别趋于对应积分, 故左端对任意标签选取都有共同极限, 从而得到 的可积性与积分线性公式. 对常数函数 , 每个带标签 Riemann 和均满足：

因此常数函数具有所述积分公式.

定理 12 (微积分基本定理)

设 , 且 连续. 则下列 Riemann 积分 结论成立：

1. 函数 在 上 可导, 且 ;
2. 若 在 上连续, 在 上可导, 且对每个 均有 , 则 .

证明 13 (微积分基本定理)

对任意在 上具有 Riemann 积分 的函数 与 , 约定：

结合 Riemann 积分的区间性质 的 (1), 按三个端点的相对次序改写为顺序端点的积分, 可得积分可加性对任意端点次序均成立.

1. 固定 , 并取充分小的 , 使 . 当 时, 由 Riemann 积分的区间性质 的 (1), ; 当 时, 同一性质给出 , 再用反向积分约定得到相同等式. 因此两种情形均有：

由 Riemann 积分的区间性质 的 (3) 中的积分线性与常数函数积分公式, 并结合反向积分约定, 两种符号的 都有：

令 . 由于 在 上 连续, 由 连续函数可积 可对它应用 Riemann 积分的区间性质 的 (2), 得到：

右端在 时趋于 , 故双侧极限均为 .
2. 由 最值定理, 设 . 对任意 , 结合任意端点次序的可加性与 Riemann 积分的区间性质 的 (2), 有 . 因此 在 上 连续. 由 (1), 在 上 可导 且 . 结合 在 上连续, 在 上可导且 , 函数 在 上连续, 在 上可导, 且其导数恒为 . 由 Lagrange 中值定理, 为常值. 再由 与 得 .

5. 相关概念

• 反常积分；
• 导数.

6. 术语翻译

中文	英文
Riemann 积分	Riemann integral

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