正项级数

1. 概述

于 数学分析 中, 正项级数 是各项非负的 级数. 其部分和单调递增, 因此收敛性等价于部分和有上界.

2. 定义

定义 1 (正项级数)

设 . 称 级数 为 正项级数.

3. 例子

例子 2 (-级数)

正项级数 当且仅当 时收敛.

4. 相关性质

命题 3 (正项级数的判别法)

设 . 则 正项级数 满足：

1. 收敛当且仅当其部分和有上界；
2. 若最终有 且 收敛, 则 收敛；
3. 若 , 则 收敛；若该上极限大于 , 则发散；
4. 若 , 则 收敛.

证明 4 (正项级数的判别法)

对 正项级数：

1. 部分和单调递增, 应用 单调收敛定理.
2. 的部分和由 的部分和控制, 再用 (1).
3. 取 严格介于上极限与 之间, 则充分大的 有 ；发散情形由 收敛的必要条件.
4. 同样取 , 使充分大的 有 , 继而与几何级数比较.

5. 相关概念

• 无穷级数；
• 绝对收敛.

6. 术语翻译

中文	英文
正项级数	series of nonnegative terms

数学分析