自由模

1. 概述

于 模论 中, 自由模 是具有基的 -模. 它最接近线性空间, 但一般模不一定自由, 自由模的子模也未必自由.

2. 定义

定义 1 (自由模)

设 为左 -模. 若存在子集 , 使每个 都能唯一地写成 中有限多个元素的 -线性组合, 则称 为 自由模, 并称 为 的一组基.

3. 例子

例子 2 (标准自由模)

对集合 , 由有限支撑族组成的直和 是 自由模, 其标准基由 组成.

4. 相关性质

命题 3 (自由模的泛性质)

设 为以集合 为基的 自由模, 为典范集合映射, 为左 -模. 对任意 映射 , 存在唯一的 模同态 , 使得下图 交换：
\xymatrix{
B \ar[r]^{\iota} \ar[dr]_{u} & F \ar@{—>}[d]^{\widetilde u} \
& M
}

即对所有 都有 .

证明 4 (自由模的泛性质)

存在性

对有限和定义 . 基展开的唯一性保证该式良定义, 并直接给出模同态性质.

唯一性

基展开的唯一性保证该模同态唯一.

推论 5 (有限生成模是有限秩自由模的商)

每个 有限生成模 都存在某个 与满 模同态 .

5. 相关概念

• 有限生成模
• 生成子模
• 直和
• 线性空间

6. 术语翻译

中文	英文
自由模	free module
基	basis