最小多项式

1. 概述

于 线性代数 中, 最小多项式 是消去给定 线性变换 的最低次数首一 多项式, 用来描述其代数结构.

2. 定义

定义 1 (最小多项式)

设 为 域 上的 有限维线性空间, 为 线性变换. 满足 的非零首一多项式中, 次数最小的多项式称为 的 最小多项式.

3. 例子

例子 2 (基本例子)

对 方阵 , 有 且 , 故 最小多项式 为 .

4. 相关性质

命题 3 (最小多项式的存在唯一性)

每个 有限维线性空间 上的 线性变换 都存在唯一 最小多项式.

证明 4 (最小多项式的存在唯一性)

存在性

若 , 则变换空间维数为 , 因而 线性相关. 所以存在非零消去 多项式, 取最低次数并除以首项系数即可. 零空间时常数 即可.

唯一性

两个同次数首一最低次消去多项式之差次数更低且仍消去 , 故其差只能为零.

命题 5 (消去多项式的整除判别)

设 为 域 上的 有限维线性空间, 为 线性变换, 为其 最小多项式. 对任意 , 有 当且仅当 .

证明 6 (消去多项式的整除判别)

充分性 ( )

对 多项式 作除法 , . 代入 得 , 由最小性得 .

必要性 ( )

若 , 则 .

5. 相关概念

• 特征多项式
• 可对角化
• Jordan 标准形

6. 术语翻译

中文	英文
最小多项式	minimal polynomial