1. 概述 于 线性代数 中, 谱定理 说明满足适当内积对称性的 线性变换 可以沿正交方向分解. 本页采用有限维自伴情形. 2. 定义 定义 1 (谱定理) 设 为实或复 有限维 内积空间, 为满足 的 线性变换. 谱定理 断言 存在由 的特征向量构成的正交归一 基, 且所有特征值均为实数. 3. 例子 例子 2 (基本例子) 对实对称 方阵 , 谱定理 给出单位 特征向量 、, 对应特征值 . 4. 相关性质 证明 3 (谱定理) 先考虑复 内积空间. 特征多项式 在 上有根, 故非零空间有特征向量 . 自伴条件给出 , 因而特征值为实数. 单位化 后, 与它正交的子空间被 保持, 且限制仍自伴. 对维数归纳得到正交归一特征向量基. 实数情形可在复化后取实特征值, 再从复特征向量的实部或虚部选出非零实特征向量, 用相同归纳完成证明. 推论 4 (实对称矩阵的正交对角化) 对每个实对称 方阵 , 存在实矩阵 满足 且 为实对角矩阵. 这正是 谱定理 在标准 Euclid 空间 中的坐标形式. 注记 5 (适用范围) 谱定理 的自伴条件不能删去. 一般实 线性变换 可能没有实 特征值, 一般复线性变换也可能不能 对角化. 5. 相关概念 内积空间 正交性 可对角化 特征值 6. 术语翻译 中文英文谱定理spectral theorem