Cayley–Hamilton 定理

1. 概述

于 线性代数 中, Cayley–Hamilton 定理 说明每个 方阵 都被自己的 特征多项式 消去, 从而把矩阵的高次幂化为低次幂.

2. 定义

定义 1 (Cayley–Hamilton 定理)

设 为 域 上的 方阵, 为 特征多项式. Cayley–Hamilton 定理 的断言为 .

3. 例子

例子 2 (基本例子)

若 为二阶 方阵, 则 Cayley–Hamilton 定理 给出 .

4. 相关性质

证明 3 (Cayley–Hamilton 定理)

在系数 域 的 代数闭包 中, 方阵 由 Jordan 标准形定理 相似于若干块的直和. 对每个大小为 、特征值为 的块, 特征多项式含因子 , 因而在此块上取值为零. 所以 在代数闭包上为零; 其元素本来属于原域, 故在原域上也为零.

推论 4 (最小多项式整除特征多项式)

有限维线性空间 上的 线性变换 的 最小多项式 整除其 特征多项式.

证明 5 (最小多项式整除特征多项式)

应用 Cayley–Hamilton 定理 以及 消去多项式的整除判别.

5. 相关概念

• 特征多项式
• 最小多项式
• Jordan 标准形

6. 术语翻译

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Cayley–Hamilton 定理	cayley hamilton theorem