代数闭包

1. 概述

于 Galois 理论 中, 代数闭包 是包含底域并且自身代数闭的最小代数环境. 它允许同时讨论底域上所有多项式的根.

注记 1 (动机)

域 上的 多项式 在 中未必有根. 例如 在 实数 域 中无根, 却在 复数 域 中有根; 代数闭包 提供可同时容纳这些代数根的环境.

注记 2 (直观理解)

以 为底域时, 代数闭包 将 、、 等代数根放在同一个 代数扩张 中. 而 不是 代数数, 不在其中.

注记 3 (方法与视角)

可借助 分裂域 与 代数扩张 逐步加入 多项式 的根. 在 有限域 的 代数闭包 中, 还可统一研究 Frobenius 自同态 的迭代及其 不动域.

2. 定义

定义 4 (代数闭包)

设 为 域. 若 为 代数扩张, 且 为 代数闭域, 则称 为 的 代数闭包.

3. 例子

例子 5 (复数域)

复数 域 是 实数 域 的 代数闭包, 但不是 的代数闭包, 因为 不是 代数扩张.

4. 相关性质

定理 6 (代数闭包的存在唯一性)

每个 域 都存在 代数闭包, 且任意两个代数闭包之间存在固定 的域同构.

5. 相关概念

• 代数扩张
• 分裂域
• 代数闭域
• 绝对 Galois 群

6. 术语翻译

中文	英文
代数闭包	algebraic closure