伴随的单位与余单位

1. 概述

于 范畴论 中, 伴随的单位与余单位 把 伴随函子 的 Hom-集双射改写为两个自然变换. 三角恒等式保证它们恰好编码同一个伴随关系.

2. 定义

定义 1 (伴随的单位与余单位)

设 且 . 定义 自然变换：

分别为该伴随的 单位 与 余单位, 其中 对应于 , 对应于 . 它们满足三角恒等式：

注记 2 (三角恒等式的交换图)

单位与余单位 的恒等式可表示为：

\xymatrix{ F(X) \ar[r]^{F(\eta_X)} \ar[rd]_{1_{F(X)}} & FGF(X) \ar[d]^{\varepsilon_{F(X)}} \\ & F(X) } \qquad \xymatrix{ G(Y) \ar[r]^{\eta_{G(Y)}} \ar[rd]_{1_{G(Y)}} & GFG(Y) \ar[d]^{G(\varepsilon_Y)} \\ & G(Y) }

3. 例子

例子 3 (积伴随的单位与余单位)

对对角函子 , 单位 把 送到对角态射 , 余单位在 处由两个投影组成.

4. 相关性质

定理 4 (由单位与余单位刻画伴随)

给定 函子 、, 若存在满足三角恒等式的 单位与余单位, 则 .

证明 5 (由单位与余单位刻画伴随)

由 单位与余单位 定义：

自然性来自 的自然性；两组三角恒等式分别保证两个复合为恒等映射.

5. 相关概念

• 伴随函子；
• 单子.

6. 术语翻译

中文	英文
伴随的单位	unit of an adjunction
伴随的余单位	counit of an adjunction

范畴论