公理化集合论

1. 概述

与 朴素集合论 相对的是 公理化集合论, 这是由一套严格的 公理 所给出的 集合论, 虽然还存在着许多悬而未决的问题, 但现如今还是作为主流数学中的数学基础.

通俗的说, 我们有两种方式构建公理化集合论, 例如：

1. 基础集合论：我们可以将公理化集合论作为数学基础, 例如：Zermelo-Fraenkel 集合论, ZFC 集合论 等. 现如今, 由于现代数学的各分支大量地使用了 范畴论, 为了能让 集合 适配 范畴, 我们需要额外引入 Grothendieck 宇宙 以规避类似于 Russell 悖论 的问题, 该集合论又被称为 Tarski-Grothendieck 集合论.
2. 定义集合论：除了将公理化集合论直接作为数学基础, 我们还可以在其他的数学基础之上定义 集合 的概念, 例如当我们以 作为数学基础时：
   • 类理论：以 类 作为元件 (而非集合), 并且将集合定义为 较小的类, 其中较为著名的例子有 Von Neumann-Bernays-Gödel 集合论;
   • 范畴论：将集合定义为一个 小的, 离散的 骨架范畴 (甚至于 高阶范畴论 中, 我们可将 范畴 替换为 -群胚 或 -范畴);
   • 同伦类型论：利用 h-集 定义集合;
   • 预集论：以 预集 作为元件, 将带有 等价关系 的预集视作集合.

相关概念

• 构造性集合论
• ETCS
• ZFC 集合论

2. 术语翻译

中文	英文
公理化集合论	axiomatic set theory
基础集合论	foundational set theory
定义集合论	definitional set theory

集合论