类

1. 概述

在数学中, 有许多物件对于 集合 而言太大, 例如 大范畴 或是 超实数 等, 因此我们需要引入一种类似于集合, 但比传统的集合更大的概念, 而这就是所谓的 类, 例如：

• 所有的集合都是类, 但类也包含那些比所有集合都大的 “集合”;
• 所有集合不构成一个集合, 但却是一个类.

比所有集合都来得更大的类称为 真类.

2. 定义

定义 1 (类)

称形如 的命题为 类, 其中 是命题的自由变量. 它表示由所有满足性质 的 集合 构成的类.

记号 2 (类)

类 记为：

若 集合 使 为真, 则记为 .

注记 3

• 对于 Zermelo-Fraenkel 集合论 而言, 类的定义需涉及 元语言, 而这是因为命题作为数学对象出现在定义中;
• 于元语言中, 类只是作为逻辑语言的 等价类 而存在.
• 此外, 标准的 Zermelo-Fraenkel 集合论 公理 不会涉及到类, 这也就是说类根本不受 Zermelo-Fraenkel 集合论中公理的限制, 因此可以避免许多 朴素集合论 中的悖论. 而这些悖论反而成为检验一个类是否构成 真类 的方法之一, 例如 Russell 悖论 可以证明 “所有不包含集合自身的集合, 所构成的类的确是个真类”.

定义 4 (真类)

注记 5

既然集合 已是真类 中的 元素, 那么 必定不是任一集合 中的元素. 换言之, 真类不是由集合所构成的类.

用词的区别

需要注意的是, “类” 一词在不同的语境下可能不尽相同. 例如在一些作者的文章中, 称类为真类, 而 集合 则称为 小, 大集.

3. 例子

例子 6

• 所有的集合构成一个类 ;
• 所有 基数 及 序数 分别构成类.

4. 相关概念

• 小, 大集
• Grothendieck 宇宙

5. 术语翻译

中文	英文
类	class
真类	proper class

集合论