ZFC 集合论

1. 概述

ZFC 集合论 是一种基于 一阶逻辑 的 集合论公理系统, 它是由 Zermelo-Fraenkel 集合论 的所有 公理 连同下述的 选择公理 所组成, 现如今是绝大部分主流数学里的数学基础.

2. 公理

注记 1 (包含所有来自 ZF 集合论的公理)

ZFC 集合论继承了所有来自 Zermelo-Fraenkel 集合论 的 公理.

公理 2 (选择公理)

设 为由 非空集 所组成的 集族, 至少存在一个 选择函数 , 使得 中任意的 元素 (作为 集合), 可被 选定一个属于 的 元素 , 即：

别名 3 (选择公理)

有时, 选择公理 亦会被简写为 AC, 即英语中 “Axiom of Choice” 的首字母.

注记 4 (选择公理的构造性)

上述的 选择公理 说明, 当我们考虑一个 非空集 时候, 该 公理 告诉我们总是存在一个 “方法” 从 的任意 非空子集 中拣选出一个代表 元素. 而这个挑选的 “方法” 的具体 构造 方式也是值得斟酌的, 例如：

• 对于 有限多个 子集的情况, 可以用穷举的方式将 选择函数 的具体映射方式构造出来;
• 对于 无限多个 子集的情况, 我们当然无法将它们全部穷举出来. 但如果是一些特殊的 集合, 比如取 时, 对每一个 自然数集 的子集, 利用 良序性原理 我们就可以从中拣选出这些子集的 最小元.
  不过对于更广义的无限集, 我们可能就没法明确的给出一个恰当的选择函数了, 但既然是非空子集, 那应该至少还是存在一种这样的选择函数. 现在大多数学家都认为这个性质是对有限集情况, 直接延伸推广而来的, 大体上颇符合直觉, 也就公认这是正确的了.

基于上述的讨论, 可见选择公理仅是指出选择函数的 存在性, 并没有保证这个函数必定能被明确的构造出来. 而在证明的过程中, 当这个选择函数能被轻松地构造出来的时候, 直接给出具体的选择函数即可, 而无须利用选择公理. 因此一般在需要使用到选择公理时, 证明的过程都是 非构造性 的.

注记 5 (选择公理拣选元素的一致性)

由于在同一个 非空子集 中拣选代表 元素 时, 不能一下子挑选一个元素, 一下子又挑选另一个元素, 因此需要利用到 映射 来表达这种 “一致性”, 而这种表述方式即是 选择函数 的定义.

注记 6 (选择公理的直观理解)

上述的 选择公理 说明, 以下一些 非空子集, 总是可以从每一个 “袋子” 中拣选出一个代表 元素, 并将这些拣选出来的元素放进一个独立的大袋子中, 以图示观察即有：

3. 相关性质

定理 7 (良序定理)

若一个 公理化集合论 系统中包含 选择公理, 则对任意 非空集 , 皆存在至少一个 序关系 使得 是 良序集.

证明 8 (良序定理)

由于我们知道 序数 在作为 集合 时是满足 良序性 的, 只要可以为 非空集 中每个 元素 分配上一个与之对应的序数 (即构造 与 之间的一个 双射 ), 便有可能得到 的具体构造.

双射 的构造

现在考虑递归地构造一个 映射：

其中的 是 选择函数, 即通过 选择公理, 首先从 中拣选出第一个元素 , 并为该元素分配一个序数 , 然后再从 中除了 以外的元素拣选第二个元素 , 如此类推直到 为 空集, 便可得到一个按拣选先后顺序的 全序序列：

其中的每个 , 因此只要直到这些元素的 并集 完全地覆盖 时, 即 , 便完成了对 的良序.

中良序 的存在性

我们已然通过 获得了一个全序序列, 因此只需要令 亦按此规则排序即可, 例如：

即是说可将 良序集 的 定义为：

别名 9 (良序定理)

有时 良序定理 亦被称为 Zermelo 定理, 因为它是 Zermelo 利用 选择公理 证出的.

例子 10 ( 连同特殊排序 的良序性)

在一般情况下, 对于 有理数 连同其上的 通常排序 而言, 全序集 中的一些 非空子集 并不总是 良序的, 考虑 , 我们永远无法找到该 集合 的 最小元. 不过, 如果利用 良序定理, 则总是可以找到其中一种排序方式 使得 的所有非空子集皆构成良序集.

事实上, 我们的确能够找到一种具体 构造 出 使得 是良序集的方式, 利用 有理数 > ^553b8f, 可得知 与 之间存在一个 双射, 例如下图所示：

即采用 “对角遍历” 的方式将 的所有 数 取尽, 便可以对 中的所有 元素 重新排序, 使其在重排后变成良序集.

例子 11 ( 连同特殊排序 的良序性)

在 中我们同样能够得知至少存在一种排序 使得 为 良序集. 不过相较于 的情况, 在 中我们只能从 良序定理 中获知 的 存在性, 而无法将其具体的 构造 出来, 这是由于 实数集 的 基数 太大, 它的 序数 类型将至少是某个 不可数序数, 例如 或更大, 但由于 ZFC 集合论 是由 可数多的字母表 所生成的 形式语言 , 因此在该范畴内并不足以将所有的 元素 表达出来, 即 .

定理 12 (Zorn 引理)

设 为 非空偏序集, 若 中任何的 链 都存在 上界, 则 内必定存在 极大元.

证明 13 (Zorn 引理)

定理 14 (选择公理的等价叙述)

在 一阶逻辑 的前提下, 以下的叙述是等价的：

1. 选择公理;
2. 良序定理;
3. Zorn 引理.

4. 相关概念

• Zermelo-Fraenkel 集合论
• 一阶语言
• 一阶逻辑

5. 术语翻译

中文	英文
ZFC 集合论	ZFC set theory
选择公理	axiom of choice
良序定理	well-ordering theorem
Zermelo 定理	Zermelo’s theorem
Zorn 引理	Zorn’s lemma

集合论