分离公理

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 分离公理 是衡量拓扑空间能否用开集区分点与闭集的一系列条件. 它们从 到正规性逐步增强.

2. 定义

定义 1 (分离公理)

称下列关于 拓扑空间 的性质为常用的 分离公理：

1. 公理：不同点在拓扑上可区分;
2. 公理：每个单点集闭;
3. 公理：不同点具有不交开邻域;
4. 公理：点与不含该点的闭集可由不交开集分离;
5. 公理：不交闭集可由不交开集分离.

3. 例子

例子 2 (典型空间的分离性)

每个 度量空间 都满足 分离公理 中的 至 条件. 无限集上的 余有限拓扑 满足 但不满足 Hausdorff 条件.

4. 相关性质

命题 3 (分离公理的蕴含链)

按本仓库对各 分离公理 采用的约定：

证明 4 (分离公理的蕴含链)

正规空间 中单点集闭, 故可用正规性分离点与不含该点的闭集. 正则空间 中单点集闭, 故可分离两个不同点. Hausdorff 条件直接给出每个点具有排除另一点的邻域, 因而满足 ; 显然蕴含 .

5. 相关概念

• T0 空间
• T1 空间
• Hausdorff 空间
• 正则空间
• 正规空间

6. 术语翻译

中文	英文
分离公理	separation axiom

一般拓扑