正规空间

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 正规空间 是满足 条件且任意两个不交闭集都能由不交开集分离的拓扑空间.

2. 定义

定义 1 (正规空间)

设 为 T1 空间. 若对任意不交 闭集 , 都存在不交 开集 使 且 , 则称 为 正规空间, 也称 空间.

3. 例子

例子 2 (度量空间)

每个 度量空间 都是 正规空间. 对不交闭集 , 可比较点到 与 的距离构造不交开邻域.

4. 相关性质

命题 3 (正规性的闭包缩小判据)

T1 空间 是 正规空间 当且仅当对每个 闭集 及包含它的 开集 , 存在开集 使：

证明 4 (正规性的闭包缩小判据)

充分性 ( )

对不交闭集 , 令 . 取 使 , 则 与 分别包含 且不交.

必要性 ( )

用正规性分离闭集 与 , 得不交开集 与 . 则 .

命题 5 (正规空间正则)

每个 正规空间 都是 正则空间.

证明 6 (正规空间正则)

因 是 T1 空间, 单点集闭. 对点 , 使用正规性分离闭集 与 即得正则性.

5. 相关概念

• 正则空间
• T1 空间
• 分离公理
• Lindelöf 空间

6. 术语翻译

中文	英文
正规空间	normal space
空间	space

一般拓扑