第一可数空间

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 第一可数空间 是每个点都具有可数局部基的拓扑空间. 在这种空间中, 序列足以刻画闭包与逐点连续性.

2. 定义

定义 1 (第一可数空间)

设 为 拓扑空间. 若每个 都具有可数 局部基, 则称 为 第一可数空间.

3. 例子

例子 2 (度量空间)

每个 度量空间 都是 第一可数空间, 因为 是点 处的可数局部基.

4. 相关性质

命题 3 (第一可数空间中的闭包序列判据)

设 为 第一可数空间, , . 则 当且仅当存在 中 序列 收敛到 .

证明 4 (第一可数空间中的闭包序列判据)

充分性 ( )

若 收敛到 , 则 的每个邻域最终包含 , 故与 相交, 从而 .

必要性 ( )

取递减可数局部基 , 其中可由前 个基元素取交得到递减性. 由 , 对每个 选 . 则 收敛到 .

5. 相关概念

• 第二可数空间
• 局部基
• 拓扑序列收敛
• 闭包

6. 术语翻译

中文	英文
第一可数空间	first-countable space

一般拓扑