闭包

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 闭包 是包含给定子集的最小 闭集. 它把子集连同所有无法用邻域与之分离的点一起收集起来.

2. 定义

定义 1 (闭包)

设 为 拓扑空间 的 子集. 称所有包含 的 闭集 之交为 的 闭包.

记号 2 (闭包)

的 闭包 记为：

其中 遍历包含 的 闭集.

3. 例子

例子 3 (有理数的闭包)

在具有 通常拓扑 的 中, 有理数 集合 的 闭包 为 , 而开区间 的闭包为 .

4. 相关性质

命题 4 (闭包运算的基本性质)

设 . 闭包 运算满足：

1. 是包含 的最小 闭集;
2. 若 , 则 ;
3. ;
4. .

证明 5 (闭包运算的基本性质)

1. 由 闭集的基本封闭性 的第 2 条及定义得证.
2. 每个包含 的闭集也包含 .
3. 由第 1 条及 本身为闭集得证.
4. 是包含 的闭集; 反向包含由第 2 条得到.
   

命题 6 (闭包的邻域判据)

设 , . 则对 闭包 , 当且仅当 的每个 邻域 都与 相交.

证明 7 (闭包的邻域判据)

充分性 ( )

若 且存在与 不相交的邻域 , 则取开集 满足 . 此时 是包含 而不包含 的闭集, 与 闭包 的定义矛盾.

必要性 ( )

若 , 则 是包含 且与 不相交的开邻域.

5. 相关概念

• 内部
• 边界
• 聚点
• 稠密子集

6. 术语翻译

中文	英文
闭包	closure

一般拓扑