1. 概述
数 是表示数量、次序、度量或代数关系的抽象对象. 不同的 数系 通过所允许的运算、关系与完备性条件组织起来, 形成从 自然数、整数、有理数 到 实数 与 复数 的常见扩张链.
在 集合论 中, 基数 与 序数 用来表达无限集的大小与次序. 非标准分析还会使用超实数与超现实数描述无穷大和无穷小. 对 有理数 作
2. 定义
定义 1 (数)
数 是用于表示数量、次序、度量或代数关系的抽象对象的统称. 本页不把“数”定义为由某个 数系 递归产生的集合; 具体对象及其运算、关系和公理由相应的数系页面分别给出.
3. 例子
例子 2 (常见数系)
例子 3 (广义数系)
4. 相关性质
命题 4 (数系的逐步扩张)
存在保持
、 、加法与乘法的标准嵌入： 该命题只断言这些结构保持的嵌入, 不把各扩张的构造性质并入同一命题.
证明 5 (数系的逐步扩张)
各映射分别把一个数送到其在下一数系中的标准代表, 并保持
、 、加法与乘法. 因而得到所示标准嵌入链; 识别每个数系与其像后, 才可将其简写为包含链. 具体地, 补入自然数的加法逆元, 允许非零整数作分母, 是 的通常度量完备化, 含有方程 的根.
5. 相关概念
6. 术语翻译
| 中文 | 英文 |
|---|---|
| 数 | number |
| 数系 | number system |