Pythagoras 三元组

1. 概述

于 初等数论 中, Pythagoras 三元组 是方程 的正整数解. 本原解具有完整参数化; 从几何上看, 该参数化也描述 圆锥曲线 上的 有理点, 因而是通向 算术几何 的基本例子.

2. 定义

定义 1 (Pythagoras 三元组)

设 . 若：

则称 为 Pythagoras 三元组. 若还满足 , 则称该三元组为本原的.

3. 例子

例子 2 (基本 Pythagoras 三元组)

与 都是本原 Pythagoras 三元组, 而 不是本原的, 因为 .

4. 相关性质

定理 3 (本原 Pythagoras 三元组的参数化)

设 . 则 是本原 Pythagoras 三元组, 当且仅当交换 后, 存在 互素 且奇偶性不同的 , , 使：

证明 4 (本原 Pythagoras 三元组的参数化)

充分性 ( )

设 是本原 Pythagoras 三元组. 不可能同时为奇数, 也不可能同时为偶数, 故交换 后可设 为奇数、 为偶数. 于是 为奇数, 并有：

两个因子 互素; 否则其 共同素因数 也会整除 , 进而整除 , 与本原性矛盾. 由 算术基本定理, 互素正整数之积为平方数时每个因子都是平方数. 因而存在 使 、, 从而得到所列公式. 又由两个因子互素可知 , 且 奇偶性不同.

必要性 ( )

由恒等式：

所给公式产生 Pythagoras 三元组. 若某个 素数 同时整除 与 , 则由 及 奇偶性不同可推出矛盾, 故三个数的最大公因数为 .

5. 相关概念

• Diophantine 方程
• Fermat 方程
• 互素
• 算术几何
• 圆锥曲线的有理参数化
• 有理点

6. 术语翻译

中文	英文
Pythagoras 三元组	Pythagorean triple

初等数论