覆盖映射

1. 概述

于 代数拓扑 中, 覆盖映射 是局部呈现为若干互不相交副本的 连续映射. 它把 道路提升 与 基本群 联系起来.

2. 定义

定义 1 (覆盖映射)

设 为 拓扑空间. 连续满射 称为 覆盖映射, 当每个 都有开邻域 , 使 为一族两两不交开集 的并, 且每个限制 都是 同胚. 这样的 称为均匀覆盖邻域, 称为其上的一层.

注记 2 (局部条件的强度)

覆盖映射 在每点附近是 同胚, 且每条纤维带 子空间拓扑 后是离散的. 反之, 仅要求局部同胚与离散纤维不足以保证存在同时覆盖整条纤维的均匀覆盖邻域.

3. 例子

例子 3 (圆的指数覆盖)

设 带 子空间拓扑. 映射：

是 覆盖映射. 每个足够短的开圆弧都在实线上对应由整数平移得到的互不相交开区间, 各限制均为 同胚.

4. 相关性质

命题 4 (覆盖映射的局部性质)

设 为 覆盖映射. 则：

1. 对每个 , 存在开邻域 使 为到 中开集的 同胚;
2. 对每个 , 纤维 的 子空间拓扑 是离散拓扑;
3. 将开集映成开集.

证明 5 (覆盖映射的局部性质)

选取 覆盖映射 的均匀覆盖邻域：

1. 取包含 的一层, 即由定义得到所需 同胚.
2. 每层与纤维恰交于一点, 所以纤维的每个单点均在 子空间拓扑 下开.
3. 任意开集与各层的交在层内开, 其像由同胚性在对应的底空间开邻域中开; 将这些像取并即可.
   

5. 相关概念

• 道路提升
• 同伦提升
• 泛覆盖
• 覆盖变换

6. 术语翻译

中文	英文
覆盖映射	covering map
均匀覆盖邻域	evenly covered neighborhood
层	sheet

代数拓扑