散度

1. 概述

于 数学分析 中, 散度 衡量同维 向量场 在一点附近的净流出强度. 正散度表示局部源, 负散度表示局部汇, 零散度则表示一阶意义下没有净体积膨胀.

2. 定义

定义 1 (散度)

设 为开集, 为 向量场. 称标量函数：

为 的 散度.

记号 2 (散度)

散度 也记为 .

3. 例子

例子 3 (径向向量场)

对 上的 向量场 , 有 , 故其 散度 恒为 .

4. 相关性质

命题 4 (散度的代数规则)

设 为 向量场, 为 函数, . 则以下 散度 规则成立：

1. ;
2. .

证明 5 (散度的代数规则)

1. 对 散度 的表达式 使用 偏导数 的线性性并求和即得.
2. 对每一项 使用乘积法则, 再求和得到 . 第一项是 梯度 与 的内积 , 第二项即 .
   

5. 相关概念

• 向量场;
• 梯度;
• 旋度;
• 曲面积分.

6. 术语翻译

中文	英文
散度	divergence
源	source
汇	sink

数学分析