Cauchy 序列

1. 概述

于 数学分析 中, Cauchy 序列 用序列内部各项彼此接近来表达收敛趋势, 而不预先指定极限. 实数 的完备性正体现为每个实 Cauchy 序列都收敛.

2. 定义

定义 1 (Cauchy 序列)

设 为实 序列. 称 为 Cauchy 序列, 当：

3. 例子

例子 2 (收敛序列)

每个收敛的实 序列 都是 Cauchy 序列, 因为充分大的 满足：

4. 相关性质

定理 3 (实数中的 Cauchy 收敛准则)

实序列收敛当且仅当它是 Cauchy 序列.

证明 4 (实数中的 Cauchy 收敛准则)

充分性 ( )

若实序列收敛, 则由三角不等式可知它是 Cauchy 序列.

必要性 ( )

Cauchy 序列 必有界. 由 Bolzano—Weierstrass 定理, 它存在收敛子列 . 给定 , 当 同时充分大时：

故原序列亦收敛于 .

5. 相关概念

• 序列极限；
• 实数.

6. 术语翻译

中文	英文
Cauchy 序列	Cauchy sequence

数学分析