最大公因数

1. 概述

于 环论 中, 环中的最大公因数 是在整除关系下被所有公因数整除的公因数. 它若存在, 只在相伴意义下唯一.

2. 定义

定义 1 (环中的最大公因数)

设 为 整环, . 称 为这些元素的 环中的最大公因数, 当：

1. 是 的 公因数;
2. 每个公因数 都满足 .

记号 2 (环中的最大公因数)

选定 的一个 最大公因数 后, 记为 .

3. 例子

例子 3 (整数中的最大公因数)

在 整数环 中, 与 都是 与 的 环中的最大公因数. 通常选取正的代表 .

4. 相关性质

命题 4 (最大公因数在相伴意义下唯一)

设 为 整环. 若 与 都是 的 环中的最大公因数, 则 与 是 相伴元.

证明 5 (最大公因数在相伴意义下唯一)

因 是公因数而 具有最大性, 有 . 同理 . 在整环中, 两个非零且彼此整除的元素相伴; 全部 为零时, 两个 最大公因数 也都与 相伴.

命题 6 (主理想整环中的 Bézout 表示)

设 为 主理想整环, , 则 最大公因数 存在, 且可取 使：

证明 7 (主理想整环中的 Bézout 表示)

因 为主理想整环, 生成理想 等于某个主理想 . 包含关系 表明 ; 若 是公因数, 则 , 故 . 最后的线性组合由 得到.

5. 相关概念

• 公因数
• 最小公倍数
• 主理想环

6. 术语翻译

中文	英文
最大公因数	greatest common divisor