主理想环

1. 概述

于 环论 中, 主理想环 是每个 理想 都能由单个元素生成的 交换环. 整数环 是最基本的例子.

2. 定义

定义 1 (主理想环)

称 交换环 为 主理想环, 当 的每个 理想 都是 主理想.

注记 2 (主理想整环)

若 定义 1 (主理想环) 还是 整环, 则称其为 主理想整环.

3. 例子

例子 3 (整数环)

整数环 是 定义 1 (主理想环), 因为每个理想都形如 .

例子 4 (非整环的主理想环)

对任意 , 整数模 环 是 主理想环; 当 为合数时, 它不是整环.

4. 相关性质

命题 5 (主理想整环中的不可约元为素元)

设 为主理想整环. 则 中每个 不可约元 都是 素元.

证明 6 (主理想整环中的不可约元为素元)

设不可约元 整除 . 理想 为主理想, 设 . 因为 , 不可约性说明 是单位或与 相伴. 若 与 相伴, 则 ; 若 是单位, 则存在 使 , 两边乘以 得 , 从 推出 .

5. 相关概念

• 主理想
• 整环
• 不可约元
• 素元

6. 术语翻译

中文	英文
主理想环	principal ideal ring
主理想整环	principal ideal domain