零理想

1. 概述

于 环论 中, 零理想 是只含加法零元的最小 理想. 它是否为 素理想 恰好刻画环是否为 整环.

2. 定义

定义 1 (零理想)

设 为 环, 称单元素集合 为 的 零理想.

记号 2 (零理想)

环 的 零理想 记为 或 .

3. 例子

例子 3 (整数环中的零理想)

在 整数环 中, 是 零理想, 并且是 素理想.

4. 相关性质

命题 4 (零理想是最小理想)

设 为 环. 对任意 理想 , 都有 .

证明 5 (零理想是最小理想)

理想在加法下构成子群, 因而必含加法零元 .

命题 6 (零理想为素的判别)

设 为非零 交换环, 则 是 素理想 当且仅当 是 整环.

证明 7 (零理想为素的判别)

充分性 ( )

若 为素理想且 , 则 , 因而 或 , 即 或 .

必要性 ( )

若 为整环且 , 则 , 所以 或 , 即 或 .

5. 相关概念

• 理想
• 幂零根
• 整环

6. 术语翻译

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零理想	zero ideal