族

1. 概述

于 集合论 中, 族 是由一个指标集参数化的 映射, 用来记录一组按指标取值的 对象. 与 集合 不同, 族允许不同指标对应同一个对象, 因而能保留重复出现的位置.

常见的 序列 是以 为指标集的族, 而 集族 是取值为集合的一族. 一族集合的 Cartesian 积、一族 直和 以及一族映射都可以用同一个语言描述.

注记 1 (动机)

集合只记录对象是否出现, 不记录对象出现的位置或次数. 当同一个对象需要在不同位置承担不同角色时, 用指标集区分这些位置, 就得到族.

注记 2 (直观理解)

可以把指标集看成一组标签, 把族看成一张查表规则：输入指标 , 输出该位置的对象 . 不同指标可以查到相同的对象, 但这些带标签的项仍然是不同的位置.

2. 定义

定义 3 (族)

设 与 为 集合, 其中 为指标集. 称 映射 为以 为指标集、取值于 的 族.

记号 4 (族)

对 族 , 将 写为 . 逐项对应可表示为：

该族记为 或 .

3. 例子

例子 5 (有限族与重复值)

设 , , 且 , , , . 则 是以 为指标集的 族, 通常写成 . 这个族有四个带指标的项, 但其取值组成的 集合 只有 .

例子 6 (序列)

设 , , 并令 . 则 是一个 序列, 也就是以 自然数 为指标集、取值于 实数 的一族.

例子 7 (集族)

对每个 , 令 . 则 是一个 集族, 其每一项都是 集合.

4. 相关性质

命题 8 (族的相等判据)

设 为 族. 则 当且仅当对任意 , 都有 .

证明 9 (族的相等判据)

若 , 则对任意 都有 .

若对任意 都有 , 则 与 在定义域上的每个元素取值相同, 因而由 映射 的逐点相等判据得 .

命题 10 (族的重指标化)

设 为 族, 为 映射. 则复合 是以 为指标集的族, 其第 项为 .

证明 11 (族的重指标化)

映射 的复合仍为映射, 所以 是从 到 的映射. 对每个 , 有 , 这正是沿 对原族进行重指标化的结果.

命题 12 (集族的 Cartesian 积)

设 为 集族, 则其 Cartesian 积 满足：

证明 13 (集族的 Cartesian 积)

Cartesian 积 的左侧由每个指标 选取一个 的族组成. 右侧正是所有满足 的同类族, 因而两边描述同一个集合.

5. 相关概念

• 集族
• 序列
• 映射
• Cartesian 积
• 选择函数

6. 术语翻译

中文	英文
族	family
一族元素	indexed family of elements
指标集	index set
重指标化	reindexing
集族	family of sets

集合论