商拓扑

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 商拓扑 把一个空间中由满射识别的点压缩到新集合上. 它是使该满射连续的最细拓扑.

2. 定义

定义 1 (商拓扑)

设 为 拓扑空间, 为 满射. 称：

为 上由 诱导的 商拓扑.

3. 例子

例子 2 (区间端点粘合)

在 上识别 与 , 其 等价类 集合带有由自然投影诱导的 商拓扑. 该空间可由一个端点粘合的区间直观表示为圆周.

4. 相关性质

命题 3 (商拓扑的最细性)

商拓扑 是 上使 连续 的最细拓扑.

证明 4 (商拓扑的最细性)

商拓扑 按定义使 连续. 若 是 上另一使 连续的拓扑, 则每个 都满足 , 故 .

命题 5 (商拓扑的泛性质)

设 赋予 商拓扑, 为 拓扑空间, 为 映射. 则 连续 当且仅当 连续, 使得下图 交换：
\xymatrix{
X \ar[r]^{q} \ar[dr]_{g\circ q} & Y \ar[d]^{g} \
& Z
}

证明 6 (商拓扑的泛性质)

充分性 ( )

由 连续映射的基本性质 的 (2) 得到.

必要性 ( )

若 连续, 则对 中每个 开集 , 开. 由 商拓扑 的定义, 在 中开.

5. 相关概念

• 商映射
• 终拓扑
• 等价关系
• 余积拓扑

6. 术语翻译

中文	英文
商拓扑	quotient topology
商空间	quotient space

一般拓扑