层

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 拓扑空间上的层 是满足开覆盖局部性与粘合性的 预层. 它把每个开集上的局部资料恢复为整个 拓扑空间 上的资料.

2. 定义

定义 1 (拓扑空间上的层)

设 为 拓扑空间, 为 上的 预层. 对任意 开集 的开覆盖 , 若满足：

1. 局部性：对 , 若 对所有 成立, 则 ;
2. 粘合性：若 且 对所有 成立, 则存在 使 .
   则称 为 上的 拓扑空间上的层.

3. 例子

例子 2 (连续函数层)

设 为 拓扑空间. 对每个 开集 取实值 连续函数 的 集合, 并以函数限制作为 限制映射. 这些资料构成 层.

4. 相关性质

推论 3 (拓扑空间层的广义刻画)

将 的开集按包含关系视为 偏序范畴, 并赋予由开覆盖生成的 Grothendieck 拓扑. 则 层 等价于该 站点 上的 层.

证明 4 (拓扑空间层的广义刻画)

继承自 层的两种定义等价, 其中 覆盖筛 由开覆盖生成, 匹配族正好是开集交上的相容局部截面.

命题 5 (层的粘合唯一性)

设 为 层, 为 开集 覆盖. 交集上相容的局部 截面 存在唯一的整体粘合截面.

证明 6 (层的粘合唯一性)

继承自 覆盖筛上的唯一粘合, 其中将开覆盖生成的覆盖筛视为覆盖资料.

5. 相关概念

• 预层
• 层
• 截面
• 限制映射
• 连续函数
• 站点

6. 术语翻译

中文	英文
层	sheaf
局部性	locality
粘合性	gluing