Grothendieck 拓扑

1. 概述

于 Topos 理论 中, Grothendieck 拓扑 在一个 范畴 上指定哪些 筛 扮演覆盖的角色. 它把拓扑空间的开覆盖推广到不以点或开集为基本对象的环境.

2. 定义

定义 1 (Grothendieck 拓扑)

设 为 范畴. 若对每个 对象 指定一族 上的 筛 , 并满足：

1. 极大筛 属于 ;
2. 若 且 , 则 拉回 筛 属于 ;
3. 若 , 且 为 上的筛并满足对每个属于 的 都有 , 则 .
   则称 为 上的 Grothendieck 拓扑, 中的筛称为覆盖筛.

记号 2 (Grothendieck 拓扑)

配备 Grothendieck 拓扑 的 范畴 常写作 .

3. 例子

例子 3 (拓扑空间的开集拓扑)

设 为 拓扑空间, 为 开集 按包含关系组成的 偏序范畴. 若一个筛包含由某个开覆盖 生成的筛, 就把它规定为覆盖筛. 这给出 上的 Grothendieck 拓扑.

4. 相关性质

命题 4 (覆盖筛在拉回下稳定)

设 为 范畴 上的 Grothendieck 拓扑, . 对任意 态射 , 拉回 筛 是 上的 覆盖筛.

证明 5 (覆盖筛在拉回下稳定)

这正是 Grothendieck 拓扑 的第二条公理.

5. 相关概念

• 筛
• 站点
• 层
• 层

6. 术语翻译

中文	英文
Grothendieck 拓扑	Grothendieck topology
覆盖筛	covering sieve