兼容性

1. 概述

于 代数结构 中, 兼容性 描述一个 关系 是否在对其两侧同时施行指定 运算 后仍然成立. 它使关系能够与代数运算共同构成一致的结构.

例如, 整数加法群 上的 小于或等于 关系与加法兼容：若 , 则对任意 都有 .

2. 定义

定义 1 (关系与运算的兼容性)

设 为 集合, 为 上的 二元运算, 为 上的 二元关系. 称 与 满足 兼容性, 当同时满足：

• 右兼容性：;
• 左兼容性：.

3. 例子

例子 2 (初步例子)

• 任意 集合 上的 关系 与任意 运算 满足 兼容性;
• 整数 上的 小于或等于 关系 与加法满足兼容性;
• 整数上的 与乘法不满足兼容性, 因为 但同乘 后有 .

例子 3 (商集上的诱导运算)

设 为 集合 上与 二元运算 兼容的 等价关系. 则可在 商集 上定义：

兼容性 保证该结果与代表元 的选取无关.

4. 相关性质

命题 4 (交换运算只需验证单侧兼容性)

设 为满足 交换律 的 二元运算. 则 关系 与 左兼容当且仅当右兼容; 因而只需验证其中一侧即可得到 兼容性.

证明 5 (交换运算只需验证单侧兼容性)

充分性 ( )

假设 与 左兼容. 若 , 则对任意 有 . 由 交换律 得 与 , 故 , 即 与 右兼容.

必要性 ( )

假设 与 右兼容. 若 , 则对任意 有 . 再由交换律将两侧改写为 与 , 即得 左兼容性.

命题 6 (兼容等价关系诱导商运算)

设 为与 二元运算 满足 兼容性 的 等价关系. 则公式 在 商集 上给出唯一的诱导运算.

证明 7 (兼容等价关系诱导商运算)

若 且 , 先由 右兼容性 得 , 再由左兼容性得 . 最后使用 传递性 得 .

5. 相关概念

• 相容性
• 等价关系
• 序关系
• 商集

6. 术语翻译

中文	英文
兼容性	compatibility with an operation

一般数学 代数性质