良基性

1. 概述

于 集合论 与 序论 中, 良基性 排除无限向下追溯的现象. 它保证每个 非空子集 都能找到一个没有更小前驱的 元素, 从而支持递归定义与归纳证明.

2. 定义

定义 1 (良基性)

设 为 集合, 为 上的 二元关系. 称 满足 良基性, 或称 为 良基关系, 当每个非空 子集 都存在 -极小元 , 即：

3. 例子

例子 2 (初步例子)

• 自然数 集合 上的 小于 关系 满足 良基性, 因为每个非空自然数子集都有 最小元;
• 整数 集合 上的 不满足良基性, 因为 本身没有最小元;
• 设 为 有限集, 则 上任意满足 传递性 且不允许 的 关系 都满足良基性.

4. 相关性质

命题 3 (良基性对限制关系保持)

设 为 集合 上满足 良基性 的 关系, . 则 限制在 上所得的关系仍满足良基性.

证明 4 (良基性对限制关系保持)

任意非空 子集 同时也是 的非空子集, 因而含有一个 -极小元; 该元素也对限制后的关系极小.

定理 5 (良基归纳原理)

设 为 集合 上满足 良基性 的 关系, 为 上的 谓词. 若：

则 .

证明 6 (良基归纳原理)

若不然, 反例组成非空 子集 . 由 良基性 取 的 -极小元 . 所有满足 的元素 都不属于 , 故皆满足 ; 由归纳假设得到 , 与 矛盾.

5. 相关概念

• 良基关系
• 良序性
• 最小元
• 数学归纳法
• 超限归纳法

6. 术语翻译

中文	英文
良基性	well-foundedness
良基关系	well-founded relation

一般数学 良好性质