良序性

1. 概述

于 序论 中, 良序性 表示一个 全序 不仅能比较任意两个 元素, 而且每个 非空子集 都具有 最小元. 满足该性质的全序集称为 良序集.

2. 定义

定义 1 (良序性)

设 为 全序集. 称 满足 良序性, 当每个非空 子集 都存在 最小元 , 即：

3. 例子

例子 2 (初步例子)

• 自然数 集合 上的 通常排序 满足 良序性;
• 任意 有限 全序集 都满足良序性;
• 整数、有理数 与 实数 上的通常排序不满足良序性, 因为它们都存在没有 最小元 的非空子集.

4. 相关性质

命题 3 (良序性对子集保持)

设 为满足 良序性 的 全序集, . 则 限制在 上后仍满足良序性.

证明 4 (良序性对子集保持)

任意非空 子集 同时也是 的非空子集, 因而在 下存在 最小元.

命题 5 (良序蕴含良基)

设 为满足 良序性 的 全序集, 定义严格关系 当且仅当 且 . 则 满足 良基性.

证明 6 (良序蕴含良基)

每个非空 子集 的 -最小元不存在更小的 -前驱, 因而是 的 -极小元.

定理 7 (良序归纳原理)

设 满足 良序性, 定义 当且仅当 且 , 并设 为 上的 谓词. 若对每个 , 从所有 都满足 可以推出 , 则 对所有 成立.

5. 相关概念

• 良序
• 良序集
• 良基性
• 全序集
• 良序定理

6. 术语翻译

中文	英文
良序性	well-ordering property

一般数学 良好性质