最小元

1. 概述

一个 偏序集 的 最小元 是小于所有其它 元素 的元素.

2. 定义

定义 1 (最小元)

设 为 预序集 (或 偏序集), 子集 , 称 为 的 最小元, 若 是 的 下界.

3. 例子

详情请参阅 最大, 最小, 极大, 极小元的例子.

4. 偏序集 中的相关性质

命题 2 (偏序集中最小元必为极小元)

设 为 偏序集, 若 子集 存在 最小元 , 则 亦是 的 极小元.

命题 3 (偏序集中最小元必为上确界)

设 为 偏序集, 若 子集 存在 最小元 , 则 必为 的 下确界.

命题 4 (偏序集中最小元的唯一性)

设 为 偏序集, , 则 的 最小元 是 唯一 的.

注记 5 (预序集中最小元不一定唯一)

需要注意的是, 预序集 中 最小元 不一定 唯一, 因为预序集中允许 “多个 元素 一样大”, 亦即存在多个 极小元, 这并不是线序的.

5. 全序集 中的相关性质

命题 6 (有限全序集的非空子集必定存在最小元)

设 为 有限 全序集, 则它的任意 非空 子集 必定存在 最小元 .

5. 相关概念

• 下界
• 极小元
• 最大元

6. 术语翻译

中文	英文
最小元	least element

序论