1. 概述 于 交换代数 中, -代数 是同时具有 环 与 -模 结构, 且两种乘法相容的对象. 它把“定义在底环 上的环”形式化. 2. 定义 定义 1 (-代数) 设 与 为 交换环. 若给定 环同态 , 则称二元组 为 交换 -代数. 注记 2 (结构同态) -代数 的同态 称为结构同态; 它使 通过 成为 -模. 3. 例子 例子 3 (多项式代数与商代数) 设 为 交换环. 多项式环 是 -代数; 对其任意 理想 , 商环 也是 -代数. 4. 相关性质 命题 4 (多项式代数的泛性质) 设 为 -代数, 其结构同态为 , 并设 . 令 为典范结构同态. 存在唯一的 -代数同态 , 使得下图 交换： \xymatrix{ R \ar[r]^{\eta} \ar[dr]_{\iota} & R[x_1,\ldots,x_n] \ar@{—>}[d]^{\varphi} \ & A } 并且对每个 都有 . 等价地, , 且显式求值公式为 . 证明 5 (多项式代数的泛性质) 存在性 对 多项式 以 作求值便得到所需 同态; 同态保持加法与乘法. 唯一性 多项式由系数和变量生成, 故该同态唯一. 5. 相关概念 -代数同态 有限型代数 多项式环 标量扩张 6. 术语翻译 中文英文-代数-algebra