圆锥曲线的有理参数化

1. 概述

于 代数几何 中, 圆锥曲线的有理参数化 从一个已知有理点出发, 以经过该点的直线斜率描述曲线上的其余有理点. 它解释了 Pythagoras 三元组和 Pell 圆锥曲线参数公式的共同来源.

2. 定义

定义 1 (圆锥曲线的有理参数化)

设 为域 上的 圆锥曲线. 称从射影直线到 的 双有理映射 为 的 有理参数化.

3. 例子

例子 2 (单位圆的参数化)

设 为满足 的 域. 对 上的仿射曲线 , 从 有理点 出发考虑直线 . 第二个交点给出：

因而得到一组 有理参数化 公式.

4. 相关性质

命题 3 (参数与有理点的对应)

设 为满足 的 域. 对 且 , 上述公式给出单位圆上的 -点. 反之, 除基点 外的每个 -点都由唯一参数：

得到.

证明 4 (参数与有理点的对应)

存在性

将参数公式代入可直接验证 . 反之, 设 为非基点的 -点. 由 及 可知 . 取 , 则 , 因而 . 消去经过该点与 的直线和圆方程的公共交点, 便恢复所列公式.

唯一性

对非基点, 经过它与 的直线斜率唯一, 且该斜率必为 , 故参数唯一.

5. 相关概念

• 圆锥曲线
• 有理点
• Pythagoras 三元组
• Pell 方程

6. 术语翻译

中文	英文
有理参数化	rational parametrization